Простое число — это любое число, которое можно разделить только на 1 и на само себя. Например, 3 — простое число, потому что единственные числа, на которые оно делится, — это 1 и 3. Число 4 не является простым, потому что его можно разделить на 1, 2 и 4. Простые числа иногда называют химическими элементами чисел, потому что любое целое число может быть выражено как произведение простых. Число 100 не является простым, потому что оно делится на 2, 4, 5, 10, 20, 25 и 50, но его можно выразить как 2 * 2 * 5 * 5.
Хотя простые числа кажутся простыми, некоторые их свойства до сих пор вызывают большой математический интерес. Одной из проблем, занимающих математиков, является гипотеза о двойном простом числе, которая утверждает, что существует бесконечно много простых чисел, отличающихся на 2 (например, 3 и 5, 17 и 19, 29 и 31). С увеличением числа такие простые числа появляются все реже (например, 18 408 989 и 18 408 991 — простые числа, а следующие простые числа-близнецы — 18 409 199 и 18 409 201), но гипотеза утверждает, что они не исчезают полностью. Не существует последнего прайма-близнеца. Однако гипотеза о простых близнецах — это гипотеза, то есть математики подозревают, что она верна, но не доказали ее. В 2013 году Итан Чжан совершил большой прорыв, доказав, что существует бесконечно много простых чисел, отличающихся на 70 миллионов. Это число далеко от 2, но оно гораздо лучше, чем бесконечность, на которой строилась гипотеза. Последующие работы улучшили работу Чжана, и теперь известно, что существует бесконечно много простых чисел, отличающихся на 246.
Один особый вид простых был интенсивно исследован. Простые числа Мерсенна имеют вид 2^n — 1, где n — целое число. Первое простое число Мерсенна — 3 = 2^2 — 1; следующее — 7 = 2^3 — 1. Однако затем они начинают истончаться. Следующие простые числа Мерсенна — 31, 127, 8 191 и 131 071. Всего известно 49 простых чисел Мерсенна. 15 самых последних открытых простых чисел Мерсенна были найдены в рамках проекта Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) — проекта распределенных вычислений. Самое последнее открытие было сделано в январе 2016 года, когда было обнаружено, что 2^74 207 281 — 1 является простым. Это число состоит из 22 338 618 цифр и является самым большим из известных простых чисел.
